Сайт Информационных Технологий

ПОЛУЧЕНИЕ АПОСТЕРИОРНЫХ БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ДЛЯ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ВИДЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНИВАЕМОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

В.С.Малиновский, А.А.Шабров, С.В.Ильичев, С.В.Зюзин

Военный артиллерийский университет

Abstract — The article is dedicated to a problem of mining of algorithm of calculation a posterior Bayes estimations of probability of non-failure in the supposition, that the prior information presets as prior distribution of an investigated parameter. The algorithm grounded on approximating of parameters most frequently of distribution laws, used for reliability prediction, by polynomials of different degrees. Advantage of the obtained estimations is that the task of the prior information as prior distribution directly for a parameter of reliability, instead of for parameters of a cumulative distribution function is from the practical point of view more objective and friend.

В условиях недостаточного количества информации об отказах сложных технических систем (СТС), связанных с выпуском их, как правило, в единичных экземплярах, одним из эффективных способов повышения точности оцениваемых по результатам испытаний и эксплуатации показателей надежности (ПН) является привлечение дополнительных сведений, в качестве которых могут быть ПН систем-аналогов, ПН, полученные расчетным путем на ранних этапах жизненного цикла СТС, и т.д.

Наиболее совершенным методом объединения результатов испытаний (эксплуатации) с априорными данными является подход, основанный на использовании апостериорных байесовских оценок ПН. Существующие способы их получения базируются, в основном, на применении в качестве априорной информации (АИ) закона распределения (ЗР) параметра(ов) ЗР наработки на отказ [1]. Такое задание АИ крайне неудобно, т.к. специалист в области испытаний (эксплуатации) СТС оперирует, чаще всего, непосредственно оценками ПН систем-аналогов. Он поставлен в весьма затруднительную ситуацию, пытаясь давать объективные сведения (прогнозировать) о ЗР и числовых характеристиках параметров ЗР наработки на отказ. Поэтому получение апостериорных байесовских оценок ПН для АИ в виде ЗР оцениваемого показателя представляется весьма актуальным [2].

Основной предпосылкой получения апостериорных байесовских оценок ПН для АИ в виде ЗР данного показателя является наличие в явном виде зависимости между параметрами ЗР, оцениваемым ПН и временем функционирования СТС. Для закона распределения Вейбулла такая зависимость имеется. В частности, параметр масштаба l выражается через параметр формы a , время функционирования t0 и вероятности безотказной работы (ВБР) r следующим образом [2]:

. (1)

Знание аналитической зависимости типа (1) позволяет довольно-таки несложно построить и реализовать алгоритм получения апостериорных байесовских оценок ВБР , дисперсии и нижней доверительной границы (НДГ) ВБР уровня g . К сожалению, для большинства наиболее употребимых в практике оценки надежности ЗР (табл.1 [3]) зависимость типа (1) может быть найдена лишь многократным численным решением уравнений, приведенных в 3-й колонке табл.1, относительно параметра масштаба и аппроксимаций полученных результатов полиномом n-ой степени. Если представить такую зависимость в общем виде

, (2)

где а- параметр масштаба;

n - параметр формы,

то алгоритм получения оценок , , будет следующим [4].

Таблица 1

Исходные данные для нахождения зависимости (2)

Наименование ЗР

Обозначение параметров ЗР

Исходные уравнения
Логнормальный алн, n лн
Гамма аГ, n Г
Диффузионный монотонный аM, n M

Диффузионный немонотонный аN, n N

*) - нормированная функция Лапласа;

**) - гамма-фун-кция

1. Находится функция правдоподобия через параметры n , t0, r

, (3)

где d- число отказов;

- наработка на отказ;

k - число наработок до цензурирования;

ti - наработка до цензурирования;

f(x) - плотность распределения;

F(x) - функция распределения.

2. Определяется оценка ВБР. В частности, для равномерного апостериорного распределения параметра r в промежутке она будет иметь вид

, (4)

где . (5)

3. Оценка дисперсии находится по зависимости

.(6)

4. Находится НДГ путем решения уравнения

. (7)

Работоспособность предложенного подхода проверена на примере диффузионного ЗР экспериментальных значений наработок на отказ и АИ в виде равномерного ЗР ВБР. Получены необходимые расчетные зависимости (3)-(7) для указанной информационной ситуации. При этом процедура установления связи (2) свелась к последовательному применению полного факторного плана 23 (8 коэффициентов в модели), центрального ортогонального композиционного плана (15 коэффициентов) и построению полной квадратичной модели (24 коэффициента). Точность модели (2) по мере ее усложнения повышалась и в последнем случае достигла приемлемой величины (<2%). Разработанная в среде MathCAD 7 prof. программа реализации полученного алгоритма позволила представить в графическом виде результаты, свидетельствующие об эффективности предложенного подхода к повышению точности оценки ПН СТС:

байесовская НДГ ВБР оказалась больше опытной;

с уменьшением ширины интервала АИ величина увеличилась.

Разработанные алгоритм и программа расширяют информационную базу оценки надежности с учетом АИ и могут быть использованы в практике испытаний и эксплуатации СТС.

Литература

1. Надежность и эффективность в технике. Справочник в 10 томах. Т.4.; Методы подобия в надежности. -М.: Машиностроение, 1987. -280с.

2. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания. Надежность технических объектов. -М.: Наука, 1989. -328с.

3. Методы оценки показателей надежности по экспериментальным данным. РД 50-690-89. -М.: Издательство стандартов, 1990. -132с.

4. Малиновский В.С., Грант Е.В., Заика Ю.Н. Байесовская оценка вероятности безотказной работы для диффузионного DN-распределения. Надежность и контроль качества, №8. С.22-28.
Site of Information Technologies
Designed by  inftech@webservis.ru.